Resolver 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-27 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -108 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

-12 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-18 b=6$$

Berridatzi 4x^{2}-12x-27 honela: \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Deskonposatu 2x-9 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-9=0 eta 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta -27 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Gehitu 144 eta 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Atera 576 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±24}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Murriztu \frac{36}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{9}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±24}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 24 ken 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Murriztu \frac{-12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Egin -27 ken 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Zatitu -12 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Gehitu \frac{27}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$