Resolver 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx+9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

-12 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=-6$$

Berridatzi 4x^{2}-12x+9 honela: \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Deskonposatu 2x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 2x-3=0.

$$x=\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Gehitu 144 eta -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Murriztu \frac{12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-12x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Zatitu -12 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Gehitu -\frac{9}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{3}{2}$$