Resolver 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Egin 16 ken 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta 14 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Egin -11 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Gehitu 121 eta -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Atera -103 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{103} ken 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Egin 30 ken 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Murriztu \frac{-14}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Zatitu -\frac{11}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Gehitu -\frac{7}{2} eta \frac{121}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Gehitu \frac{11}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$