Resolver 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0.132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1.882782219$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+7x=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+7x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Gehitu 49 eta 16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{65} ken -7.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+7x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Zatitu \frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Egin ken \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$