Resolver 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0.75+1.391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0.75-1.391941091i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Egin 6 ber bi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Gehitu 36 eta -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Atera -124 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Zatitu -6+2i\sqrt{31} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{31} ken -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Zatitu -6-2i\sqrt{31} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{6}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{-10}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Zatitu \frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Egin ken \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$