Resolver 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin 6 ber bi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Gehitu 36 eta -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Atera 20 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Zatitu -6+2\sqrt{5} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{5} ken -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Zatitu -6-2\sqrt{5} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Murriztu \frac{6}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Zatitu \frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Egin ken \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$