Resolver 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-81 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -324 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

48 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=54$$

Berridatzi 4x^{2}+48x-81 honela: \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 27 bigarren taldean.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Deskonposatu 2x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-3=0 eta 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 48 balioa b balioarekin, eta -81 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Egin 48 ber bi.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Gehitu 2304 eta 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Atera 3600 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±60}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -48 eta 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Murriztu \frac{12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±60}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 60 ken -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Murriztu \frac{-108}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Gehitu 81 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Egin -81 ken 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Zatitu 48 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Zatitu 12 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 6 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 6 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Egin 6 ber bi.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Gehitu \frac{81}{4} eta 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Atera x^{2}+12x+36 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$