Resolver 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Atera -128 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Zatitu -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} balioa 8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i\sqrt{2} ken -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Zatitu -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} balioa 8 balioarekin.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Zatitu 4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Gehitu -\frac{9}{4} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$