Resolver 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,10 2,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+10=11 2+5=7$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=2 b=5$$

Berridatzi x^{2}+7x+10 honela: \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Deskonposatu x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x+2=0 eta x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 28 balioa b balioarekin, eta 40 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Egin 28 ber bi.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Gehitu 784 eta -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-28±12}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -28 eta 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Zatitu -16 balioa 8 balioarekin.

$$x=-2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-28±12}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Zatitu -40 balioa 8 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-2 x=-5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

40 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Zatitu 28 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Zatitu -40 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+7x=-10$$

Zatitu 7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Gehitu -10 eta \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera x^{2}+7x+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2 x=-5$$