Resolver 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1.382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4.882491022$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 14 balioa b balioarekin, eta -27 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Egin 14 ber bi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Gehitu 196 eta 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Atera 628 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Zatitu -14+2\sqrt{157} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{157} ken -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Zatitu -14-2\sqrt{157} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Egin -27 ken 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Murriztu \frac{14}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Zatitu \frac{7}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Gehitu \frac{27}{4} eta \frac{49}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Egin ken \frac{7}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$