Resolver 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-20 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -80 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=16$$

Berridatzi 4x^{2}+11x-20 honela: \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Deskonposatu 4x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4x-5=0 eta x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 11 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Egin 11 ber bi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Gehitu 121 eta 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Atera 441 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±21}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -11 eta 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Murriztu \frac{10}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±21}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 21 ken -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Zatitu -32 balioa 8 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Egin -20 ken 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Zatitu 20 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Zatitu \frac{11}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Gehitu 5 eta \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Egin ken \frac{11}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$