Resolver 4w^2+20w-11=0

$$4 w ^ { 2 } + 20 w - 11 = 0$$

Ebatzi: w

$$w = -\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2} = -5.5$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4w^{2}+aw+bw-11 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -44 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,44 -2,22 -4,11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+44=43 -2+22=20 -4+11=7$$

20 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=22$$

Berridatzi 4w^{2}+20w-11 honela: \left(4w^{2}-2w\right)+\left(22w-11\right).

$$\left(4w^{2}-2w\right)+\left(22w-11\right)$$

Deskonposatu 2w lehen taldean, eta 11 bigarren taldean.

$$2w\left(2w-1\right)+11\left(2w-1\right)$$

Deskonposatu 2w-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2w-1\right)\left(2w+11\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2w-1=0 eta 2w+11=0.

$$w=\frac{1}{2} w=-\frac{11}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4w^{2}+20w-11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 20 balioa b balioarekin, eta -11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin 20 ber bi.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -11.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Gehitu 400 eta 176.

$$w=\frac{-20±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Atera 576 balioaren erro karratua.

$$w=\frac{-20±24}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$w=\frac{-20±24}{8}$$

Orain, ebatzi w=\frac{-20±24}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -20 eta 24.

$$w=\frac{4}{8}$$

Murriztu \frac{4}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$w=\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi w=\frac{-20±24}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 24 ken -20.

$$w=-\frac{44}{8}$$

Murriztu \frac{-44}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$w=-\frac{11}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$w=\frac{1}{2} w=-\frac{11}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4w^{2}+20w-11=0$$

Gehitu 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4w^{2}+20w-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4w^{2}+20w=-\left(-11\right)$$

Egin -11 ken 0.

$$4w^{2}+20w=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4w^{2}+20w}{4}=\frac{11}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$w^{2}+\frac{20}{4}w=\frac{11}{4}$$

Zatitu 20 balioa 4 balioarekin.

$$w^{2}+5w=\frac{11}{4}$$

Zatitu 5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$w^{2}+5w+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$w^{2}+5w+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Gehitu \frac{11}{4} eta \frac{25}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$w^{2}+5w+\frac{25}{4}=9$$

Atera w^{2}+5w+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(w+\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sinplifikatu.

$$w+\frac{5}{2}=3 w+\frac{5}{2}=-3$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$w=\frac{1}{2} w=-\frac{11}{2}$$