Resolver 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

Ebatzi: t

$$t=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$t=11$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4t^{2}+at+bt-11 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -44 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

-43 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-44 b=1$$

Berridatzi 4t^{2}-43t-11 honela: \left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right).

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

Deskonposatu 4t 4t^{2}-44t taldean.

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

Deskonposatu t-11 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-11=0 eta 4t+1=0.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -43 balioa b balioarekin, eta -11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -43 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -11.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

Gehitu 1849 eta 176.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

Atera 2025 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

-43 zenbakiaren aurkakoa 43 da.

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$t=\frac{43±45}{8}$$

Orain, ebatzi t=\frac{43±45}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 43 eta 45.

$$t=\frac{88}{8}$$

Zatitu 88 balioa 8 balioarekin.

$$t=11$$

Orain, ebatzi t=\frac{43±45}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 45 ken 43.

$$t=-\frac{2}{8}$$

Murriztu \frac{-2}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Gehitu 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

Egin -11 ken 0.

$$4t^{2}-43t=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

Zatitu -\frac{43}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{43}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{43}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{43}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

Gehitu \frac{11}{4} eta \frac{1849}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

Atera t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

Gehitu \frac{43}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$