Resolver 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Ebatzi: p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4p^{2}+ap+bp-10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -40 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=5$$

Berridatzi 4p^{2}-3p-10 honela: \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Deskonposatu 4p lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Deskonposatu p-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi p-2=0 eta 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Egin -3 ber bi.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Gehitu 9 eta 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Orain, ebatzi p=\frac{3±13}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Zatitu 16 balioa 8 balioarekin.

$$p=2$$

Orain, ebatzi p=\frac{3±13}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Murriztu \frac{-10}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Egin -10 ken 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{10}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Zatitu -\frac{3}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{9}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Atera p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Gehitu \frac{3}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$