Resolver 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Ebatzi: n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 11 bi aldeetatik.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4n^{2}+an+bn-11 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -44 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-11 b=4$$

Berridatzi 4n^{2}-7n-11 honela: \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Deskonposatu n 4n^{2}-11n taldean.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Deskonposatu 4n-11 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4n-11=0 eta n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4n^{2}-7n=11$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -7 ber bi.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Gehitu 49 eta 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Atera 225 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Orain, ebatzi n=\frac{7±15}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Murriztu \frac{22}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=\frac{11}{4}$$

Orain, ebatzi n=\frac{7±15}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 15 ken 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Zatitu -8 balioa 8 balioarekin.

$$n=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4n^{2}-7n=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Gehitu \frac{11}{4} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Atera n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$