Resolver 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Ebatzi: y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y^{2}-y-2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, y^{2}+ay+by-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-2 b=1$$

Berridatzi y^{2}-y-2 honela: \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Deskonposatu y y^{2}-2y taldean.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Deskonposatu y-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-2=0 eta y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Orain, ebatzi y=\frac{4±12}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Zatitu 16 balioa 8 balioarekin.

$$y=2$$

Orain, ebatzi y=\frac{4±12}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Zatitu -8 balioa 8 balioarekin.

$$y=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=2 y=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Egin -8 ken 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Zatitu 8 balioa 4 balioarekin.

$$y^{2}-y=2$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Gehitu 2 eta \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera y^{2}-y+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2 y=-1$$