Resolver 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0.625+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0.625-1.452368755i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Gehitu 25 eta -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Atera -135 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 3i\sqrt{15} ken 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{-10}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Zatitu -\frac{5}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{25}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Gehitu \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$