Resolver 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2.561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1.561552813$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Atera 272 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Zatitu 4+4\sqrt{17} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{17} ken 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Zatitu 4-4\sqrt{17} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Egin -16 ken 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Zatitu 16 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-x=4$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Gehitu 4 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$