Resolver 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

-4 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=6$$

Berridatzi 4x^{2}-4x-15 honela: \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Deskonposatu 2x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-5=0 eta 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±16}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Murriztu \frac{20}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±16}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Murriztu \frac{-12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Gehitu \frac{15}{4} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$