Resolver 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Ebatzi: x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 120 bi aldeetatik.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x^{2}+x-30=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-30 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=6$$

Berridatzi x^{2}+x-30 honela: \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 6 bigarren taldean.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Deskonposatu x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-5=0 eta x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+4x=120$$

Egin ken 120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

120 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -120 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Atera 1936 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±44}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Zatitu 40 balioa 8 balioarekin.

$$x=5$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±44}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 44 ken -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Zatitu -48 balioa 8 balioarekin.

$$x=-6$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=5 x=-6$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+4x=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Zatitu 4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Zatitu 120 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+x=30$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Gehitu 30 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=-6$$