Resolver 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1.207106781$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+4x=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Atera 32 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Zatitu -4+4\sqrt{2} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{2} ken -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Zatitu -4-4\sqrt{2} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+4x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Zatitu 4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$