Resolver 4x^2+17x+4=0

$$4 { x }^{ 2 } +17x+4=0$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=17 ab=4\times 4=16$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 16 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,16 2,8 4,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=1 b=16$$

Berridatzi 4x^{2}+17x+4 honela: \left(4x^{2}+x\right)+\left(16x+4\right).

$$\left(4x^{2}+x\right)+\left(16x+4\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$x\left(4x+1\right)+4\left(4x+1\right)$$

Deskonposatu 4x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4x+1\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4x+1=0 eta x+4=0.

$$x=-\frac{1}{4} x=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+17x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 17 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin 17 ber bi.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-16\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 4.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-64}}{2\times 4}$$

Gehitu 289 eta -64.

$$x=\frac{-17±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Atera 225 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-17±15}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-17±15}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-17±15}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -17 eta 15.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Murriztu \frac{-2}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-17±15}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 15 ken -17.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Zatitu -32 balioa 8 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{4} x=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+17x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+17x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+17x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+17x}{4}=-\frac{4}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{17}{4}x=-\frac{4}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{17}{4}x=-1$$

Zatitu \frac{17}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{17}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{17}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{17}{4}x+\left(\frac{17}{8}\right)^{2}=-1+\left(\frac{17}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{17}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{17}{4}x+\frac{289}{64}=-1+\frac{289}{64}$$

Gehitu -1 eta \frac{289}{64}.

$$x^{2}+\frac{17}{4}x+\frac{289}{64}=\frac{225}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{17}{4}x+\frac{289}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{17}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{17}{8}=\frac{15}{8} x+\frac{17}{8}=-\frac{15}{8}$$

Egin ken \frac{17}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{4} x=-4$$