Resolver 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Ebatzi: t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0.25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4t^{2}+at+bt-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,4 -2,2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-1 b=4$$

Berridatzi 4t^{2}+3t-1 honela: \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Deskonposatu t 4t^{2}-t taldean.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Deskonposatu 4t-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4t-1=0 eta t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4t^{2}+3t=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin 3 ber bi.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Gehitu 9 eta 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-3±5}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Murriztu \frac{2}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t=\frac{1}{4}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-3±5}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Zatitu -8 balioa 8 balioarekin.

$$t=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4t^{2}+3t=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Zatitu \frac{3}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{9}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Atera t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Egin ken \frac{3}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$