Resolver 4a^2-5a+2=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+2 = 0$$

Ebatzi: a

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}\approx 0.625+0.330718914i$$

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}\approx 0.625-0.330718914i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Egin -5 ber bi.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 2}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 2.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2\times 4}$$

Gehitu 25 eta -32.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2\times 4}$$

Atera -7 balioaren erro karratua.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}$$

Orain, ebatzi a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta i\sqrt{7}.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}$$

Orain, ebatzi a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{7} ken 5.

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a^{2}-5a+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4a^{2}-5a=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{2}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{2}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{2}$$

Zatitu -\frac{5}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{64}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{25}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{7}{64}$$

Atera a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

Gehitu \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$