Resolver 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

Ebatzi: a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4a^{2}+aa+ba+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=-1$$

Berridatzi 4a^{2}-5a+1 honela: \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

Deskonposatu 4a lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Deskonposatu a-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi a-1=0 eta 4a-1=0.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -5 ber bi.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Gehitu 25 eta -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Orain, ebatzi a=\frac{5±3}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

Zatitu 8 balioa 8 balioarekin.

$$a=1$$

Orain, ebatzi a=\frac{5±3}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Murriztu \frac{2}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$a=\frac{1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4a^{2}-5a=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{5}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta \frac{25}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Atera a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Gehitu \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$