Resolver 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 31 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Egin -4 bider 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Gehitu 9 eta -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Atera -115 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Egin 2 bider 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{115} ken 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 31 balioarekin.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

31 balioarekin zatituz gero, 31 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Zatitu -\frac{3}{31} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{62} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{62} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{62} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Gehitu -\frac{1}{31} eta \frac{9}{3844} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Gehitu \frac{3}{62} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$