Resolver 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Ebatzi: t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9.933333333+1.152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9.933333333-1.152774431i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(t+10\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 225 eta t^{2}+20t+100 biderkatzeko.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Kendu 225t^{2} bi aldeetatik.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Kendu 4500t bi aldeetatik.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

-4470t lortzeko, konbinatu 30t eta -4500t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Kendu 22500 bi aldeetatik.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -225 balioa a balioarekin, -4470 balioa b balioarekin, eta -22500 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Egin -4470 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Egin -4 bider -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Egin 900 bider -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Gehitu 19980900 eta -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Atera -269100 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

-4470 zenbakiaren aurkakoa 4470 da.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Egin 2 bider -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Orain, ebatzi t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4470 eta 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Zatitu 4470+30i\sqrt{299} balioa -450 balioarekin.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Orain, ebatzi t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} ekuazioa ± minus denean. Egin 30i\sqrt{299} ken 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Zatitu 4470-30i\sqrt{299} balioa -450 balioarekin.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(t+10\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 225 eta t^{2}+20t+100 biderkatzeko.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Kendu 225t^{2} bi aldeetatik.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Kendu 4500t bi aldeetatik.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

-4470t lortzeko, konbinatu 30t eta -4500t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -225 balioarekin.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

-225 balioarekin zatituz gero, -225 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Murriztu \frac{-4470}{-225} zatikia gai txikienera, 15 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Zatitu 22500 balioa -225 balioarekin.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Zatitu \frac{298}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{149}{15} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{149}{15} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Egin \frac{149}{15} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Gehitu -100 eta \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Atera t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Sinplifikatu.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Egin ken \frac{149}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$