Resolver 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Ebatzi: b

$$b=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 15b^{2}+ab+bb-8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -120 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

-14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=6$$

Berridatzi 15b^{2}-14b-8 honela: \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Deskonposatu 5b lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Deskonposatu 3b-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3b-4=0 eta 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 30 balioa a balioarekin, -28 balioa b balioarekin, eta -16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Egin -28 ber bi.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Egin -4 bider 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Egin -120 bider -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Gehitu 784 eta 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Atera 2704 balioaren erro karratua.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

-28 zenbakiaren aurkakoa 28 da.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Egin 2 bider 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Orain, ebatzi b=\frac{28±52}{60} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 28 eta 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Murriztu \frac{80}{60} zatikia gai txikienera, 20 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b=\frac{4}{3}$$

Orain, ebatzi b=\frac{28±52}{60} ekuazioa ± minus denean. Egin 52 ken 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Murriztu \frac{-24}{60} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Egin -16 ken 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

30 balioarekin zatituz gero, 30 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Murriztu \frac{-28}{30} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Murriztu \frac{16}{30} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Zatitu -\frac{14}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{15} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{15} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{15} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Gehitu \frac{8}{15} eta \frac{49}{225} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Atera b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Sinplifikatu.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Gehitu \frac{7}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$