Resolver 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Faktorizatu

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 3z^{2}+az+bz-5 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,15 -3,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-1 b=15$$

Berridatzi 3z^{2}+14z-5 honela: \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Deskonposatu z lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Deskonposatu 3z-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin 14 ber bi.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Gehitu 196 eta 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Orain, ebatzi z=\frac{-14±16}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Murriztu \frac{2}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$z=\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi z=\frac{-14±16}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Zatitu -30 balioa 6 balioarekin.

$$z=-5$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu \frac{1}{3} x_{1} faktorean, eta -5 x_{2} faktorean.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} ken z izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Sinplifikatu 3 eta 3 balioen biderkagai komunetan handiena (3).

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Ebaluatu

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$