Resolver 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Ebatzi: y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1.369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1.70325741$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta -7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Egin 1 ber bi.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Gehitu 1 eta 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{85} ken -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Egin -7 ken 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Zatitu \frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Atera y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Egin ken \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$