Resolver 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=4$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{5y+4}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-2y=7).

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Egin 9 bider \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Gehitu 15y eta -2y.

$$13y+12=7$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$13y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Ordeztu -\frac{5}{13} y balioarekin x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Egin \frac{5}{3} bider -\frac{5}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -\frac{25}{39} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

3x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Egin 27x-6y=21 ken 27x-45y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Gehitu 27x eta -27x. Sinplifikatu egiten dira 27x eta -27x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-45y+6y=36-21$$

Gehitu -45y eta 6y.

$$-39y=36-21$$

Gehitu 36 eta -21.

$$-39y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -39 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Ordeztu -\frac{5}{13} y balioarekin 9x-2y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Egin -2 bider -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Egin ken \frac{10}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{9}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$