Resolver 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2.786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0.119632981$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Gehitu 64 eta 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Atera 76 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Zatitu 8+2\sqrt{19} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{19} ken 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Zatitu 8-2\sqrt{19} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Zatitu -\frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$