Resolver 3x^2-7x-26=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x - 26 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-2$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-26 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=3\left(-26\right)=-78$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -78 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-78 2,-39 3,-26 6,-13$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-78=-77 2-39=-37 3-26=-23 6-13=-7$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-13 b=6$$

Berridatzi 3x^{2}-7x-26 honela: \left(3x^{2}-13x\right)+\left(6x-26\right).

$$\left(3x^{2}-13x\right)+\left(6x-26\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(3x-13\right)+2\left(3x-13\right)$$

Deskonposatu 3x-13 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-13\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-13=0 eta x+2=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-7x-26=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -26 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -26.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+312}}{2\times 3}$$

Gehitu 49 eta 312.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±19}{2\times 3}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±19}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{7±19}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±19}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 19.

$$x=\frac{26}{6}$$

Murriztu \frac{26}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{13}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±19}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken 7.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Zatitu -12 balioa 6 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{13}{3} x=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-7x-26=0$$

Gehitu 26 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-7x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

-26 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-7x=-\left(-26\right)$$

Egin -26 ken 0.

$$3x^{2}-7x=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{26}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{26}{3}$$

Zatitu -\frac{7}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{26}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{26}{3}+\frac{49}{36}$$

Gehitu \frac{26}{3} eta \frac{49}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{361}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{19}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{19}{6}$$

Gehitu \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{13}{3} x=-2$$