Resolver 3x^2-6x+15=0

$$3 x ^ { 2 } - 6 x + 15 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=1+2i$$

$$x=1-2i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-6x+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\times 15}}{2\times 3}$$

Egin -6 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\times 15}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\times 15}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-180}}{2\times 3}$$

Gehitu 36 eta -180.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-144}}{2\times 3}$$

Atera -144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±12i}{2\times 3}$$

-6 zenbakiaren aurkakoa 6 da.

$$x=\frac{6±12i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{6±12i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±12i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 6 eta 12i.

$$x=\frac{6+12i}{6}$$

Zatitu 6+12i balioa 6 balioarekin.

$$x=1+2i$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±12i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 12i ken 6.

$$x=\frac{6-12i}{6}$$

Zatitu 6-12i balioa 6 balioarekin.

$$x=1-2i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1+2i x=1-2i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-6x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-6x+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-6x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{15}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{15}{3}$$

Zatitu -6 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{3}$$

Zatitu -15 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-2x=-5$$

Zatitu -2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-2x+1=-5+1$$

Gehitu -5 eta 1.

$$x^{2}-2x+1=-4$$

Atera x^{2}-2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-1\right)^{2}=-4$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Sinplifikatu.

$$x-1=2i x-1=-2i$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1+2i x=1-2i$$