Resolver 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+84 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 252 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

-32 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-18 b=-14$$

Berridatzi 3x^{2}-32x+84 honela: \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -14 bigarren taldean.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Deskonposatu x-6 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-6=0 eta 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -32 balioa b balioarekin, eta 84 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Egin -32 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Gehitu 1024 eta -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Atera 16 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 zenbakiaren aurkakoa 32 da.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{32±4}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 32 eta 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Zatitu 36 balioa 6 balioarekin.

$$x=6$$

Orain, ebatzi x=\frac{32±4}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 4 ken 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Murriztu \frac{28}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{14}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Egin ken 84 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

84 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Zatitu -84 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Zatitu -\frac{32}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{16}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{16}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{16}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Gehitu -28 eta \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{16}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$