Resolver 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6.616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0.050380733$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -20 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Egin -20 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Gehitu 400 eta -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Atera 388 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

-20 zenbakiaren aurkakoa 20 da.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 20 eta 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Zatitu 20+2\sqrt{97} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{97} ken 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Zatitu 20-2\sqrt{97} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Zatitu -\frac{20}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{10}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{10}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{10}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{100}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Gehitu \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$