Resolver 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -48 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

-2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=6$$

Berridatzi 3x^{2}-2x-16 honela: \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Deskonposatu 3x-8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-8=0 eta x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Gehitu 4 eta 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±14}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Murriztu \frac{16}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{8}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±14}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Zatitu -12 balioa 6 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Egin -16 ken 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Zatitu -\frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Gehitu \frac{16}{3} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$