Resolver 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-3 b=1$$

Berridatzi 3x^{2}-2x-1 honela: \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Deskonposatu 3x 3x^{2}-3x taldean.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Gehitu 4 eta 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Atera 16 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±4}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Zatitu 6 balioa 6 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±4}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 4 ken 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Murriztu \frac{-2}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Zatitu -\frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$