Resolver 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0.333333333+1.105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.105541597i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Gehitu 4 eta -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Atera -44 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Zatitu 2+2i\sqrt{11} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{11} ken 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Zatitu 2-2i\sqrt{11} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Zatitu -\frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Gehitu -\frac{4}{3} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$