Resolver 3x^2-16x+16=0

$$3 x ^ { 2 } - 16 x + 16 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$x=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 48 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

-16 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=-4$$

Berridatzi 3x^{2}-16x+16 honela: \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$3x\left(x-4\right)-4\left(x-4\right)$$

Deskonposatu x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-4=0 eta 3x-4=0.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -16 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -16 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2\times 3}$$

Gehitu 256 eta -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2\times 3}$$

-16 zenbakiaren aurkakoa 16 da.

$$x=\frac{16±8}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{16±8}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{16±8}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 16 eta 8.

$$x=\frac{24}{6}$$

Zatitu 24 balioa 6 balioarekin.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{16±8}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken 16.

$$x=\frac{8}{6}$$

Murriztu \frac{8}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-16x+16-16=-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-16x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-16x}{3}=-\frac{16}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{16}{3}$$

Zatitu -\frac{16}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{8}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{8}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{8}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Gehitu -\frac{16}{3} eta \frac{64}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$