Resolver 3x^2-15x-6=3

$$3 x ^ { 2 } - 15 x - 6 = 3$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{37} + 5}{2} \approx 5.541381265$$

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\approx -0.541381265$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-15x-6-3=3-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-15x-6-3=0$$

Egin 3 ken -6.

$$3x^{2}-15x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+108}}{2\times 3}$$

Gehitu 225 eta 108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{333}}{2\times 3}$$

Atera 333 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta 3\sqrt{37}.

$$x=\frac{3\sqrt{37}+15}{6}$$

Zatitu 15+3\sqrt{37} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 3\sqrt{37} ken 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{37}}{6}$$

Zatitu 15-3\sqrt{37} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-15x-6-\left(-6\right)=3-\left(-6\right)$$

-6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-15x=3-\left(-6\right)$$

Egin -6 ken 3.

$$3x^{2}-15x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{9}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{9}{3}$$

Zatitu -15 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-5x=\frac{9}{3}$$

Zatitu 9 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-5x=3$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$$

Gehitu 3 eta \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{37}{4}$$

Atera x^{2}-5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$