Resolver 3x^2+x+7=0

$$3 x ^ { 2 } + x + 7 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.166666667+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}\approx -0.166666667-1.518405597i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+x+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\times 7}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-84}}{2\times 3}$$

Gehitu 1 eta -84.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Atera -83 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{83} ken -1.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+x+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+x+7-7=-7$$

7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Zatitu \frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu -\frac{7}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{83}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Egin ken \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$