Resolver 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,10 -2,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=5$$

Berridatzi x^{2}+3x-10 honela: \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta -30 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Egin 9 ber bi.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Gehitu 81 eta 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Atera 441 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-9±21}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Zatitu 12 balioa 6 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-9±21}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 21 ken -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Zatitu -30 balioa 6 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

-30 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Egin -30 ken 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Zatitu 9 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Zatitu 30 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+3x=10$$

Zatitu 3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Gehitu 10 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Atera x^{2}+3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-5$$