Resolver 3x^2+7x=5

$$3 x ^ { 2 } + 7 x = 5$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}\approx 0.573384418$$

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}\approx -2.906717751$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+7x=5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+7x-5=5-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+7x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+60}}{2\times 3}$$

Gehitu 49 eta 60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{109} ken -7.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+7x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=\frac{5}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{5}{3}$$

Zatitu \frac{7}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{49}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{109}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{109}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{109}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{109}}{6}$$

Egin ken \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$