Resolver 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0.215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1.54858377$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Gehitu 16 eta 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Atera 28 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Zatitu -4+2\sqrt{7} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{7} ken -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Zatitu -4-2\sqrt{7} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Zatitu \frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$