Resolver 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Gehitu 4 eta -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Atera -8 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Zatitu -2+2i\sqrt{2} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{2} ken -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Zatitu -2-2i\sqrt{2} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Zatitu \frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$