Resolver 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-35 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -105 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

16 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=21$$

Berridatzi 3x^{2}+16x-35 honela: \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Deskonposatu 3x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-5=0 eta x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 16 balioa b balioarekin, eta -35 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Egin 16 ber bi.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Gehitu 256 eta 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Atera 676 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-16±26}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -16 eta 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Murriztu \frac{10}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-16±26}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 26 ken -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Zatitu -42 balioa 6 balioarekin.

$$x=-7$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

-35 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Egin -35 ken 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Zatitu \frac{16}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{8}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{8}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{8}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Gehitu \frac{35}{3} eta \frac{64}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Egin ken \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$