Resolver 3x^2+10x-5=0

$$3 x ^ { 2 } + 10 x - 5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3}\approx 0.44151844$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}\approx -3.774851773$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+10x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+60}}{2\times 3}$$

Gehitu 100 eta 60.

$$x=\frac{-10±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

Atera 160 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-10}{6}$$

Zatitu -10+4\sqrt{10} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{10} ken -10.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-10}{6}$$

Zatitu -10-4\sqrt{10} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+10x-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+10x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+10x=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$3x^{2}+10x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{5}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{5}{3}$$

Zatitu \frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{5}{3}+\frac{25}{9}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{40}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}$$