Resolver 3x^2+10x+8=0

$$3 x ^ { 2 } + 10 x + 8 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=10 ab=3\times 8=24$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

10 batura duen parea da soluzioa.

$$a=4 b=6$$

Berridatzi 3x^{2}+10x+8 honela: \left(3x^{2}+4x\right)+\left(6x+8\right).

$$\left(3x^{2}+4x\right)+\left(6x+8\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(3x+4\right)+2\left(3x+4\right)$$

Deskonposatu 3x+4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+4\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x+4=0 eta x+2=0.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+10x+8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta 8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\times 8}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\times 3}$$

Gehitu 100 eta -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Atera 4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±2}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-10±2}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±2}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 2.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Murriztu \frac{-8}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±2}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2 ken -10.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Zatitu -12 balioa 6 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+10x+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+10x+8-8=-8$$

8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+10x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=-\frac{8}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Zatitu \frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Gehitu -\frac{8}{3} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$