Resolver 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6y bi aldeetatik.

$$3x+9-6y=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-6y=-9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-2x-2y=12$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-6y=-9$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 6y-9.

$$x=2y-3$$

Ordeztu 2y-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-2y=12).

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Egin -2 bider 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Gehitu -4y eta -2y.

$$-6y+6=12$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=2y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Egin 2 bider -1.

$$x=-2-3$$

Gehitu -3 eta -2.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6y bi aldeetatik.

$$3x+9-6y=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-6y=-9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-2x-2y=12$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6y bi aldeetatik.

$$3x+9-6y=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-6y=-9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-2x-2y=12$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Sinplifikatu.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Egin -6x-6y=36 ken -6x+12y=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Gehitu -6x eta 6x. Sinplifikatu egiten dira -6x eta 6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y+6y=18-36$$

Gehitu 12y eta 6y.

$$18y=18-36$$

Gehitu 18 eta -36.

$$18y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -2x-2y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Egin -2 bider -1.

$$-2x+2=12$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-1$$